1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P berbentuk ring ?
A. Asosiatif
B. Distributif
C. Komutatif
D. A,B,C Benar
Penyelesaian :
P = {3x|x ∈ Z }
Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.
a+b = b+a
3+6 = 6+3
9 = 9
Langkah kedua kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi perkalian.
a.b = b.a
3.6 = 6.3
18 = 18
Jadi P adalah komutatif.
2. tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan
Subgrup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :
H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H Í G.
Dari tabel 3.3. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat
suatu Grup :
a. Tertutup
b. Terbuka
c. Semi Terbuka
d. Semi Tertutup
Ambil sebarang nilai dari H
misalkan 0, 2, 4 Î H
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
0 + 4 = 4
2 + 2 = 4
2 + 4 = 0
4 + 4 = 2
karena hasilnya 0, 2, 4 Î H,
maka tertutup terhadap H
3. Dibawah ini adalah struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi,kecuali...
a. Grup
b. Monoid
c. Polaroid
d. Grupoid
Penyelesaian : Hanya ada Semigrup, Monoid, Grupoid, dan Grup dalam Struktur aljabar.
4. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefenisikan operasi biner :
A * B = A + B + AB
Termasuk himpunan aljabar apakah variabel N ?
a. Grup
b. Semigrup
c. Grupoid
d. Monoid
Penyelesaian :
1. Tertutup
Ambil sebarang A, B € N, karena A, B € N, dan AB € N maka
A * B = A + B + AB € N.
Jadi, N tertutup terhadap operasi biner *.
2. Assosiatif
Ambil sebarang A, B, C € N, maka
(A * B) * C = (A + B + AB) * C = (A + B + AB) + C + (A + B + AB) C = A + B + AB + C + AC + BC + ABC
A * (B * C) = A * (B + C + BC) = A + (B + C + BC) + A (B + C + BC) = A + B + C + BC + AB + AC + ABC
Maka untuk setiap A, B, C € N berlaku
(A * B) * C = A * (B * C).
Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.
5. Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi ada ... macam
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
Penjelasan:
ada 4 macam sistem aljabar pada struktur aljabar yaitu: Semigrup, Monoid,
Grupoid, dan Grup.
6. Operasi * pada himpunan S adalah asosiatif, jika untuk sembarang a, b, c pada S
maka akan berlaku…
a. 1*a = a*1 = a
b. a dan c salah
c. a*b = b*a
d. (a*b)*c = a*(b*c)
e. a dan c benar
Penjelasan :
Rumus dasar Asosiatif : (a*b)*c = a*(b*c)
Rumus dasar Komutatif : a*b = b*a
7Dibawah ini yang merupakan struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi, kecuali :
a. Monoid
b. Koloid
c. Semigrup
d. Kelompok
e. Grupoid
Penjelasan: Hanya ada Semigrup, Monoid, Grupoid, dan Grup dalam Struktur aljabar.
8. Misalkan suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif,
didefinisikan x * y = |x – y| bila x ¹ y dan x * x = x untuk setiap x,y Î Z+.
Apa saja kah operasi biner yang mungkin?
a. Komutatif
b. Assosiatif
c.Jawaban A dan D benar
d. Tertutup
e. identitas
Penjelasan :
Tertutup
Misalkan x = 2 dan y = 3,
x * y = 2 * 3 = 1
x * x = 2 * 2 = 2
x * y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Î Z+
Komutatif
x, y Î Z+, misalkan x = 2 dan y = 3
x * y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1
y * x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1
x * y = y * x komutatif
9. Dalam Sistem aljabar terdapat jenis himpunan Grup, dibawah ini terdapat syarat-syarat himpunan grup, kecuali ?
a. Himpunan tertutup dibawah suatu operasi
b. Operasi bersifat asosiatif
c. Tidak terdapat elemen identitas
d. Setiap anggota himpunan memiliki invers untuk operasi
Syarat Dari Grup adalah :
a. Himpunan S tertutup dibawah operasi *
b. Operasi * bersifat asosiatif
c. Pada S terdapat elemen identitas untuk operasi *
d. Setiap anggota S memiliki invers untuk operasi *
10. Operasi * pada himpunan S adalah asosiatif, jika untuk sembarang a, b, c pada S berlaku ?
a. a*b = b*a
b. (a*b)*c = a*(b*c)
c. a dan b benar
d. a dan b salah
Penjelasan :
Rumus dasar Asosiatif : (a*b)*c = a*(b*c)
